COMPUERTAS LOGICAS/CIRCUITOS LOGICOS/SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS

COMPUERTAS LOGICAS

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts  para representar el binario "1" y 0.5 volts  para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado.  Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.

La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.

Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad.

A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

CIRCUITOS LOGICOS COMPUESTOS

Combinando dos o más de las compuertas básicas se puede obtener un circuito

lógico compuesto, con características de operación muy importantes. Los dos más

populares circuitos lógicos compuestos son el AND-NOT ( Y - NO ) y el OR-NOT ( 0

- NO ). Se les conoce como compuertas NAND y NOR, con los símbolos y tablas de

verdad mostrados en la figura 3 en figura de la figura 22.

Como aparece en la figura 4., varias combinaciones de compuertas iguales NAND (

O también NOR ) pueden implementar, simular, los circuitos anteriores AND y NOT

y YES ( Y, NO y SI ). Esto es importante, pero sin duda la característica más

fascinante de las funciones NAND y NOR es su equivalencia lógica. Gracias a una

regla conocida como teorema DeMorgan, una compuerta NAND de lógica positiva es

equivalente a una compuerta NOR de lógica negativa y viceversa. Puede

comprobarse , escribiendo las correspondientes tablas de verdad y encontrando que

ellas son verdaderamente idénticas. El teorema DeMorgan simplifica la lógica

digital, al punto en que las combinaciones de solamente compuertas NAND, o

compuerta NOR, pueden implementar cualquier función lógica. La figura 5 de la

figura abajo, por ejemplo, muestra como se pueden lograr las funciones OR y NOR

a base de solamente compuertas NAND. Observemos la manera como se conectan

los terminales de entrada en las compuertas NAND, cuando se las quiere usar como

INVERSORES, para pasar las entradas de lógica positiva a lógica negativa.

SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS

Una vez que se obtiene la expresión booleana para un circuito lógico, podemos reducirla a una forma más simple que contenga menos términos, la nueva expresión puede utilizarse para implantar un circuito que sea equivalente al original pero que contenga menos compuertas y conexiones.


El álgebra booleana (Algebra de los circuitos lógicos tiene muchas leyes o teoremas muy útiles tales como :

1. Ley de Morgan :

• 1. A + B = A·B
2. A·B = A + B

2. Ley Distributiva :

• 3. A+(B·C) = (A+B)·(A+C)
4. A·(B+C) = A·B+A·C

Ademas de las leyes formales para las funciones AND y OR :

• 5. A·0 = 0 ; A+0 = A
6. A·1 = A ; A+1 = 1 7. A·A = A ; A+A = A 8. A·A = 0 ; A+A = 1

y la Ley de la Involución:

• 9. A(negada) = A

Considerar la expresión booleana A·B + A·B + A·B = Y, un diagrama lógico de ésta expresión aparece en la Figura 1. Observar que deben utilizarse seis puertas para implementar este circuito lógico, que realiza la lógica detallada en la tabla de verdad (Tabla 1)

 

ENTRADAS		SALIDA
B	A	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Tabla 1: Tabla de verdad de la función OR

 Aplicando el álgebra booleana :
A·B + A·B + A·B = Y
RAZONES
= A·B + (A·B + A·B) , Propiedad asociativa
= A·B + B·(A+A) , 4. [A·(B + C) = A·B + A·C]
= A·B + B·1 , 8. [A + A = 1]
= A·B + B , 6. [B·1 = B]
= B + A·B , Propiedad conmutativa
= (B + A)·(B + B) , 3. [A + (B·C) = (A + B)·(A + C)]
= (B + A)·1 , 8. [A + A = 1]
= B + A , 6. [A * 1 = A] 



CONVERSION ENTRE LOS SISTEMAS/ECUACIONES BOOLEANAS

CONVERSION ENTRE LOS SISTEMAS NUMERICOS



CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO: Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario


1. Dividimos el numero 42 entre 2
2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1.
3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

Conversión de decimal a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NUMERO BINARIO: Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.




1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.
2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:




Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero binario correspondiente


Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0


Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso.  El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal

Conversión de decimal fraccionario a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO BINARIO A UN NUMERO DECIMAL: Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:

1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos
2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente

Conversión de binario a decimal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A OCTAL: Para convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el sistema de numeración Octal




1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del numero equivalente en decimal
2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga números fraccionarios
3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente
4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado por la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.

Conversión de decimal a octal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO OCTAL A BINARIO: La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse la conversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada numero octal de forma individual

Conversión de octal a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO HEXADECIMAL: Convertir el numero 250.25 a Hexadecimal




1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 0
2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado
3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte fraccionaria
4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre ellos.

Conversión de decimal a hexadecimal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO HEXADECIMAL A UN NUMERO DECIMAL: Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.


1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente.
2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior

Conversión de hexadecimal a decimal

ECUACIONES BOOLEANAS

j®a = b

2.

b®a

3.

b®b×b

4.

b®(b×b)

5.

b®b +b

6.

b®(b+b)

7.

b®bÅb

8.

b®(bÅb)

9.

Esta gramática no ha sido optimizada, ya que se consideró innecesaria la transformación en una gramática

determinística. A continuación se presenta un ejemplo de generación de una ecuación booleana realizando

reemplazos de cada expresión obtenida por alguna producción de la gramática.

X

Producción 1.

a®A,B,..........,Z= (((A + BÅC) × (A×D×B)) ÅB×C×DÅA)a = b

Producción 9.

X = b

Producción 8. X

= (bÅb)

Producción 8. X

= (bÅbÅb)

Producción 4. X

= ((b×b)ÅbÅb)

Producción 8. X

= (((bÅb)×b)ÅbÅb)

Producción 5. X

= (((b+bÅb)×b)ÅbÅb)

Producción 2. X

= (((a + aÅa)×b)ÅbÅb)

Producción 9. X

= (((A + BÅC)×b)ÅbÅb)

Producción 4. X

= (((A + BÅC)× (b×b))ÅbÅb)

Producción 3. X

= (((A + BÅC)×(b×b×b))ÅbÅb)

Producción 2. X

= (((A + BÅC)× (a×a×a))ÅbÅb)

Producción 9. X

= (((A + BÅ C)× (A× D× B))ÅbÅb)

Producción 3. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))Åb×bÅb)

Producción 3. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))Åb×b×bÅb)

Producción 2. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))Åa×a×aÅb)

Producción 9. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))ÅB×C×DÅb)

Producción 2. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))ÅB×C×DÅa)Producción 9. X

= (((A + BÅC)× (A×D×B))ÅB×C×DÅA)

ANÁLISIS SINTÁCTICO DE LAS EXPRESIONES.

CONSTRUCCIÓN DE LA GRAMÁTICA.

Para el primer análisis se construyó la siguiente gramática, destinada a generar cualquier expresión booleana

utilizando todos los operadores posibles. Las variables se representan con letras mayúsculas de imprenta. Las

letras griegas indican símbolos no terminales.

1.

Los sistemas de educación a distancia proveen una serie de herramientas que permiten la interacción entre los

docentes y los alumnos. Entre las más utilizadas se encuentran el e-mail, foros de discusión, chat,

videoconferencia, etc. La particularidad de todos estos medios de comunicación es que necesitan que el docente

resuelva los inconvenientes del alumno, ya sea en tiempo real o fuera de línea.

Los sistemas de educación a distancia conocidos, permiten la evaluación automática mediante exámenes de tipo

"multiple choice", donde no se deja que el alumno elabore sus respuestas sino que se le presenta un problema y

las posibles soluciones de las que debe seleccionar una o varias.

Existen, en otros ámbitos, sistemas que tienen cierto grado de autonomía en la resolución de problemas, entre

ellos los sistemas expertos y los sistemas inteligentes. Los sistemas expertos poseen una base de conocimiento

que refleja la forma de resolver los problemas que posee un experto humano, este conocimiento no se incrementa

a menos que el ingeniero de conocimiento modifique la base. Un sistema inteligente posee también una base de

conocimiento, sobre algún dominio particular, e incorpora mecanismos para la administración de dicha base de

conocimiento. Es decir, se incorporan mecanismos de aprendizaje, lo que brinda al sistema la posibilidad

incrementar su conocimiento en base a los casos presentados.

En el proyecto "Diseño de Sistemas de Asistencia Semi Supervisada (Diseño de la base de Conocimiento)" se

propone el desarrollo de un sistema capaz de asistir a los alumnos en la resolución de problemas de

simplificación de ecuaciones booleanas para la construcción de circuitos lógicos. La primera etapa del diseño

implica el estudio del dominio de aplicación de la lógica booleana, la representación del conocimiento y la

construcción de la correspondiente base de conocimiento.

El análisis de una expresión booleana, que pueda determinar la corrección en un paso de simplificación, necesita

de dos tipos de análisis previos, un análisis sintáctico y un análisis semántico de la ecuación.

El presente trabajo describe el desarrollo de un programa aceptor de ecuaciones booleanas, específicamente un

aceptor push down. Este aceptor provee el mecanismo para realizar el análisis sintáctico de la expresión.

TEOREMA DEL ALGEBRA DE BOOLE/SISTEMA DE NUMERACION OCTAL

TEOREMA DEL ALGEBRA DE BOOLE

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

• Teorema 1: A + A = A
• Teorema 2: A · A = A
• Teorema 3: A + 0 = A
• Teorema 4: A · 1 = A
• Teorema 5: A · 0 = 0
• Teorema 6: A + 1 = 1
• Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
• Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
• Teorema 9: A + A · B = A
• Teorema 10: A · (A + B) = A
• Teorema 11: A + A'B = A + B
• Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
• Teorema 13: AB + AB' = A
• Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
• Teorema 15: A + A' = 1
• Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

• Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
  Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
  Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
  Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
  Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
  Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
  Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
  Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
  Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
  Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

SISTEMA DECIMAL BINARIO OCTAL
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permi­ten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbo­lo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

1.  Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utiliza­mos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígi­tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de­recha.
En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*10² + 2*10¹ + 8*10⁰ o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta­mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*10³ + 2*10² + 4*10¹ + 5*10⁰ + 9*10^-1 + 7*10^-2, es decir:
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

 Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
1011₂ = 11₁₀

2.  Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77₁₀ haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38 Resto: 1
38 : 2 = 19 Resto: 0
19 : 2 = 9 Resto: 1
9 : 2 = 4 Resto: 1
4 : 2 = 2 Resto: 0
2 : 2 = 1 Resto: 0
1 : 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
77₁₀ = 1001101₂
Ejercicio 1:
Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276

1.  El tamaño de las cifras binarias

La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.
Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 2⁸ = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2ⁿ, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2ⁿ – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 2⁴ = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 2⁴-1 = 15.
Ejercicio 2:
Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.
Ejercicio 3:
Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

3.  Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011₂ a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 83
1010011₂ = 83₁₀
Ejercicio 4:
Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: 110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

 Sistema de numeración octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu­gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 273₈ tiene un valor que se calcula así:
2*8³ + 7*8² + 3*8¹ = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496₁₀
273₈ = 1496₁₀

4.  Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 122₁₀ tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 : 8 = 15     Resto: 2
15 : 8 = 1           Resto: 7
1 : 8 = 0               Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
122₁₀ = 172₈
Ejercicio 5:
Convierte los siguientes números decimales en octales:  63₁₀,   513₁₀,   119₁₀

5.  Conversión octal a decimal

La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 237₈ a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*8² + 3*8¹ + 7*8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀
237₈ = 159₁₀
Ejercicio 6:
Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 45₈,   125_8,   625₈

 Sistema de numeración hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima­les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F₁₆:
1A3F₁₆ = 1*16³ + A*16² + 3*16¹ + F*16⁰
  1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F₁₆ = 6719₁₀
Ejercicio 7:
Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC5₁₆,  100₁₆,  1FF₁₆
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 1735₁₀ será necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 : 16 = 108    Resto: 7
108 : 16 = 6           Resto: C es decir, 12₁₀
6 : 16 = 0                Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
1735₁₀ = 6C7₁₆
Ejercicio 8:
Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 3519₁₀, 1024₁₀, 4095₁₀

6.  Conversión de números binarios a octales y viceversa

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

<><><><>

DECIMAL	BINARIO	OCTAL
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7


Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de conver­tir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi­narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011₂ a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
101₂ = 5₈
001₂ = 1₈
011₂ = 3₈
y, de ese modo: 101001011₂ = 513₈



Ejercicio 9:
Convierte los siguientes números binarios en octales: 1101101₂, 101110₂, 11011011₂, 101101011₂



La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:
7₈ = 111₂
5₈ = 101₂
0₈ = 000₂
y, por tanto: 750₈ = 111101000₂



Ejercicio 10:
Convierte los siguientes números octales en binarios: 25₈, 372₈, 2753₈




7.  Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

 

<><><><>

DECIMAL	BINARIO	HEXADECIMAL
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F



La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con­trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 101001110011₂ bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 
1010₂ = A₁₆
0111₂ = 7₁₆
0011₂ = 3₁₆
y, por tanto: 101001110011₂ = A73₁₆


En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
101110₂ = 00101110₂ = 2E₁₆



Ejercicio 11:
Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
1010100101011101010₂, 111000011110000₂, 1010000111010111₂


La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6₁₆ hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:


1₁₆ = 0001₂
F₁₆ = 1111₂
6₁₆ = 0110₂
y, por tanto: 1F6₁₆ = 000111110110₂

Operaciones Binarias
En lo que sigue se adopta como convención la lógica positiva, lo que implica:

verdadero = 1 = activo, ------, falso = 0 = inactivo
Hay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta, multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud del o de los operando(s). La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando (es unaria), y las otras cuatro sobre dos operandos.
La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son ambos 1
La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos es 1
La operación XOR tiene resultado 1 si los operandos son distintos (uno en 0 y el otro en 1)
La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y viceversa
La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números decimales

AND
 OR
 XOR
 NOT
 SUMA

0 * 0 = 0
 0 + 0 = 0
 0 X 0 = 0
 NOT 1 = 0
 0 + 0 = 0

0 * 1 = 0
 0 + 1 = 1
 0 X 1 = 1
 NOT 0 = 1
 0 + 1 = 1

1 * 0 = 0
 1 + 0 = 1
 1 X 0 = 1
 ---
 1 + 0 = 1

1 * 1 = 1
 1 + 1 = 1
 1 X 1 = 0
 ---
 1 + 1 = 10

División
Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0, 1/1=1
Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos “1″ para la operación del dígito siguiente). Este llevarse “1″ es vastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como “acarreo” (que suena muy mal, asi que le seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman “booleanas” ya que se basan en el álgebra de Boole (invito al lector a rememorar cuando en la escuela secundaria se preguntaba, igual que yo, si el álgebra de Boole le serviría alguna vez para algo).
En un ordenador el sistema de numeración es binario -en base 2, utilizando el 0 y el 1- hecho propiciado por ser precisamente dos los estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora.
Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10:
Podemos observar que la suma se desarrolla de la forma tradicional; es decir:
+ 0011 1100b sumamos normalmente, salvo en el caso de
1 + 1 = 102 , en cuyo caso tenemos un acarreo
1110 0110b
de 1 (lo que nos llevamos).