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miércoles, 20 de octubre de 2010

TEOREMA DEL ALGEBRA DE BOOLE/SISTEMA DE NUMERACION OCTAL

TEOREMA DEL ALGEBRA DE BOOLE

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
  • Teorema 1: A + A = A
  • Teorema 2: A · A = A
  • Teorema 3: A + 0 = A
  • Teorema 4: A · 1 = A
  • Teorema 5: A · 0 = 0
  • Teorema 6: A + 1 = 1
  • Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
  • Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
  • Teorema 9: A + A · B = A
  • Teorema 10: A · (A + B) = A
  • Teorema 11: A + A'B = A + B
  • Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
  • Teorema 13: AB + AB' = A
  • Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
  • Teorema 15: A + A' = 1
  • Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

  • Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
    Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
    Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
    Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
    Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
    Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
    Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
    Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
    Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
    Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
    SISTEMA DECIMAL BINARIO OCTAL
    Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permi­ten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbo­lo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
    1.  Sistema de numeración decimal:

    El sistema de numeración que utiliza­mos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígi­tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
    El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de­recha.
    En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
    5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
    5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
    500 + 20 + 8 = 528
    En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta­mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
    8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
    8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
    8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

     Sistema de numeración binario.

    El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
    En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
    De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
    1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
    8 + 0 + 2 + 1 = 11
    y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
    10112 = 1110
    1.  Conversión entre números decimales y binarios

    Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
    Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
    77 : 2 = 38 Resto: 1
    38 : 2 = 19 Resto: 0
    19 : 2 = 9 Resto: 1
    9 : 2 = 4 Resto: 1
    4 : 2 = 2 Resto: 0
    2 : 2 = 1 Resto: 0
    1 : 2 = 0 Resto: 1
    y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
    7710 = 10011012
    Ejercicio 1:
    Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276
    1.  El tamaño de las cifras binarias
    La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.
    Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
    Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.
    Ejercicio 2:
    Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.
    Ejercicio 3:
    Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
    1.  Conversión de binario a decimal

    El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
    Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
    1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
    10100112 = 8310
    Ejercicio 4:
    Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios: 110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

     Sistema de numeración octal

    El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
    En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu­gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
    Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
    2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
    2738 = 149610
    1.  Conversión de un número decimal a octal

    La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
    122 : 8 = 15     Resto: 2
    15 : 8 = 1           Resto: 7
    1 : 8 = 0               Resto: 1
    Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
    12210 = 1728
    Ejercicio 5:
    Convierte los siguientes números decimales en octales:  6310,   51310,   11910
    1.  Conversión octal a decimal

    La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
    2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
    2378 = 15910
    Ejercicio 6:
    Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458,   1258,   6258

     Sistema de numeración hexadecimal

    En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima­les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
    Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
    1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
      1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
    1A3F16 = 671910
    Ejercicio 7:
    Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516,  10016,  1FF16
    Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:
    1735 : 16 = 108    Resto: 7
    108 : 16 = 6           Resto: C es decir, 1210
    6 : 16 = 0                Resto: 6
    De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
    173510 = 6C716
    Ejercicio 8:
    Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510
    1.  Conversión de números binarios a octales y viceversa

    Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:
    <><><><>
    DECIMAL

    BINARIO

    OCTAL

    0
    000

    0

    1

    001

    1

    2

    010

    2

    3

    011

    3

    4

    100

    4

    5

    101

    5

    6

    110

    6

    7

    111

    7

    Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de conver­tir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos bi­narios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

    Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
    1012 = 58
    0012 = 18
    0112 = 38
    y, de ese modo: 1010010112 = 5138


    Ejercicio 9:
    Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112


    La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:
    78 = 1112
    58 = 1012
    08 = 0002
    y, por tanto: 7508 = 1111010002


    Ejercicio 10:
    Convierte los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538


    1.  Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

    Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

     
    <><><><>

    DECIMAL

    BINARIO

    HEXADECIMAL
    0
    0000
    0
    1
    0001
    1
    2
    0010
    2
    3
    0011
    3
    4
    0100
    4
    5
    0101
    5
    6
    0110
    6
    7
    0111
    7
    8
    1000
    8
    9
    1001
    9
    10
    1010
    A
    11
    1011
    B
    12
    1100
    C
    13
    1101
    D
    14
    1110
    E
    15
    1111
    F

    La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "con­trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 
    10102 = A16
    01112 = 716
    00112 = 316
    y, por tanto: 1010011100112 = A7316

    En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
    1011102 = 001011102 = 2E16


    Ejercicio 11:
    Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
    10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

    La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

    116 = 00012
    F16 = 11112
    616 = 01102
    y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
    
    Operaciones Binarias
    En lo que sigue se adopta como convención la lógica positiva, lo que implica:
    verdadero = 1 = activo, ------, falso = 0 = inactivo
    Hay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta, multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud del o de los operando(s). La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando (es unaria), y las otras cuatro sobre dos operandos.
    La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son ambos 1
    La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos es 1
    La operación XOR tiene resultado 1 si los operandos son distintos (uno en 0 y el otro en 1)
    La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y viceversa
    La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números decimales
    AND
     OR
     XOR
     NOT
     SUMA
    
    0 * 0 = 0
     0 + 0 = 0
     0 X 0 = 0
     NOT 1 = 0
     0 + 0 = 0
    
    0 * 1 = 0
     0 + 1 = 1
     0 X 1 = 1
     NOT 0 = 1
     0 + 1 = 1
    
    1 * 0 = 0
     1 + 0 = 1
     1 X 0 = 1
     ---
     1 + 0 = 1
    
    1 * 1 = 1
     1 + 1 = 1
     1 X 1 = 0
     ---
     1 + 1 = 10
    
    División
    Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0, 1/1=1
    Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos “1″ para la operación del dígito siguiente). Este llevarse “1″ es vastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como “acarreo” (que suena muy mal, asi que le seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman “booleanas” ya que se basan en el álgebra de Boole (invito al lector a rememorar cuando en la escuela secundaria se preguntaba, igual que yo, si el álgebra de Boole le serviría alguna vez para algo).
    En un ordenador el sistema de numeración es binario -en base 2, utilizando el 0 y el 1- hecho propiciado por ser precisamente dos los estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora.
    Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10:
    Podemos observar que la suma se desarrolla de la forma tradicional; es decir:
    + 0011 1100b sumamos normalmente, salvo en el caso de
    1 + 1 = 102 , en cuyo caso tenemos un acarreo
    1110 0110b
    de 1 (lo que nos llevamos).

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